এই পাঠের তথ্য উৎস মিলিয়ে লেখা ও প্রথমবার যাচাই করা হয়েছে; কয়েক দিন পর দ্বিতীয়বার যাচাই চলছে। কোথাও ভুল চোখে পড়লে নিচের “ভুল জানান” বাক্সে লিখুন।
সমীকরণ মানে দাঁড়িপাল্লা: বাঁ দিক আর ডান দিক সবসময় সমান। এক দিকে যা করবেন, অন্য দিকেও তা-ই করতে হবে। এই একটা ধারণা দিয়েই সব ধরনের সমীকরণ সমাধান হয়।
ধরন ১: এক চলকের সরল সমীকরণ
৩x + ৫ = ২০। দুই দিক থেকে ৫ বাদ দিন: ৩x = ১৫। দুই দিককে ৩ দিয়ে ভাগ করুন: x = ৫।
ধরন ২: দুই চলকের সমীকরণ
যোগ-বিয়োগের শর্টকাট: x + y = ১০ আর x − y = ৪ হলে, দুটো যোগ করলে ২x = ১৪, অর্থাৎ x = ৭, আর y = ৩।
x + y = ক, x − y = খ হলে:
x = (ক + খ) ÷ ২, y = (ক − খ) ÷ ২
বসানোর কৌশল: ২x + ৩y = ১৩ আর x − y = −১। দ্বিতীয়টা থেকে x = y − ১। প্রথমটায় বসালে ২(y − ১) + ৩y = ১৩, অর্থাৎ ৫y = ১৫, y = ৩, x = ২।
ধরন ৩: দ্বিঘাত সমীকরণ
ax² + bx + c = ০ আকারের সমীকরণের দুটো মূল থাকে। সবচেয়ে কাজের দুটো সূত্র:
| কী | সূত্র |
|---|---|
| দুই মূলের যোগফল | −b ÷ a |
| দুই মূলের গুণফল | c ÷ a |
x² − ৫x + ৬ = ০: যোগফল ৫, গুণফল ৬, তাই মূল ২ ও ৩। উৎপাদকে বিশ্লেষণের পাঠের মধ্যপদ বিভক্তির সাথে মিলে গেল।
২x² − ৭x + ৩ = ০: যোগফল ৭/২, গুণফল ৩/২। মূল ৩ ও ১/২।
মূল বাস্তব কি না: নিশ্চায়ক
নিশ্চায়ক D = b² − ৪ac
D > ০: দুটো আলাদা বাস্তব মূল
D = ০: দুটো সমান মূল
D < ০: কোনো বাস্তব মূল নেই
x² + ২x + ৫ = ০: D = ৪ − ২০ = −১৬, ঋণাত্মক, তাই বাস্তব মূল নেই।
কথায় লেখা প্রশ্ন
“পিতার বয়স পুত্রের তিনগুণ। ১২ বছর পর হবে দ্বিগুণ। পুত্রের বয়স কত?” পুত্র x, পিতা ৩x। ১২ বছর পর ৩x + ১২ = ২(x + ১২), অর্থাৎ x = ১২। পিতা ৩৬। যাচাই: ১২ বছর পর ৪৮ আর ২৪, দ্বিগুণ ঠিক আছে।
পরীক্ষার কৌশল আর ফাঁদ
- বিকল্প থেকে মান বসিয়ে দেখা প্রায়ই সমাধানের চেয়ে দ্রুত।
- মূলের যোগফলে চিহ্ন উল্টো (−b/a), গুণফলে চিহ্ন একই (c/a)। চিহ্নের ভুল সবচেয়ে কমন।
- দুই দিক ভাগ করার সময় শূন্য দিয়ে ভাগ করা যায় না।
- বয়সের প্রশ্নে “পরে” মানে দুজনের বয়সেই একই সংখ্যা যোগ।